近年来看到这几个概念不少次了，都有点混淆了，稍微总结下吧。

1. 算数几何均值不等式

这种是中学课本中常见的，对于一组非负实数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_nx1​,x2​,…,xn​，有

x1x2…xnn≤x1+x2+⋯+xnn \sqrt[n]{x_1x_2\dots x_n}\leq \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}nx1​x2​…xn​​≤nx1​+x2​+⋯+xn​​

之前我一直把这个当做柯西不等式，其实不是一回事。这个不等式可以用琴声不等式证明（两边取 ln），但貌似不能用柯西不等式证明（没查到）。

广义不等式：

$$\min \{$$

x1​,…,xn​}≤x1​1​+⋯+xn​1​n​≤nx1​…xn​​≤nx1​+⋯+xn​​≤pnx1p​+…xnp​​​≤max{

x1​,…,xn​}

2. 柯西不等式

柯西不等式其实是用向量的内积表示的，对于两个向量 $\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{v}$，

∣⟨u,v⟩∣2≤⟨u,u⟩⋅⟨v,v⟩\bf |\langle u, v\rangle|^2 \leq \langle u, u\rangle \cdot \langle v, v\rangle∣⟨u,v⟩∣2≤⟨u,u⟩⋅⟨v,v⟩

典型的应用是下面的式子：

(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)^2\leq (a^2+b^2)(c^2+d^2)(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

其中，$\mathbf{u}=(a,b)$，$\mathbf{v}=(c,d)$

3. 琴生不等式

琴生不等式基于概率论，若 $f(x)$ 为凸函数，则

$$E(f(x))\ge f(E(x))$$

若 $f(x)$ 为凹函数，则

$$E(f(x))\le f(E(x))$$

凸函数与凹函数的定义可以根据琴生不等式表示。